ДЕМОКРИТ

Аргументы Зенона вскрыли внутренние противоречия, которые имели место в сложившихся математических теориях. Тем самым факт существо­вания математики был поставлен под сомнение. Какими же путями разре­шались противоречия, выявленные Зеноном ?

Простейшим выходом из создавшегося положения бал отказ от абс­тракций в пользу того, что можно непосредственно проверить с помощью ощущений. Такую позицию занял софист Протагор. Он считал, что "мы не можем представить себе ничего прямого или круглого в том смысле, как представляет эти термины геометрия; в самом деле, круг касается пря­мой не в одной точке". Таким образом, из математики следует убрать как ирреальные: представления о бесконечном числе вещей, так как никто не может считать до бесконечности;бесконечную делимость, пос­кольку она неосуществима практически и т.д. Таким путем математику можно сделать неуязвимой для рассуждений Зенона, но при этом практи­чески упраздняется теоретическая математика. Значительно сложнее бы­ло построить систему фундаментальных положений математики, в которой бы выявленные Зеноном противоречия не имели бы места. Эту задачу ре­шил Демокрит, разработав концепцию математического атомизма.

Демокрит бал, по мнению Маркса, "первым энциклопедическим умом среди греков". Диоген Лаерций (III в. н.э.) называет 7О его сочине­ний, в которых были освещены вопросы философии, логики, математики, космологии, физики, биологии, общественной жизни, психологии, этики, педагогики, филологии, искусства, техники и другие. Аристотель писал о нем: "Вообще, кроме поверхностных изысканий, никто ничего не уста­новил, исключая Демокрита. Что же касается его, то получается такое впечатление, что он предусмотрел все, да и в методе вычислений он выгодно отличается от других".

Вводной частью научной системы Демокрита была "каноника", в ко­торой формулировались и обосновывались принципы атомистической фило­софии. Затем следовала физика, как наука о различных проявлениях бы­тия, и этика. Каноника входила в физику в качестве исходного разде­ла, этика же строилась как порождение физики. В философии Демокрита прежде всего устанавливается различие между "подлинно сущим" и тем, что существует только в "общем мнении". Подлинно сущими считались лишь атомы и пустота. Как подлинно сущее, пустота (небытие) есть та­кая же реальность, как атомы (бытие). "Великая пустота" безгранична и заключает в себе все существующее, в ней нет ни верха, ни низа, ни края, ни центра, она делает прерывной материю и возможным ее движе­ние. Бытие образуют бесчисленные мельчайшие качественно однородные первотельца, различающиеся между собой по внешним формам, размеру, положению и порядку, они далее неделимы вследствие абсолютной твер­дости и отсутствия в них пустоты и "по величине неделимы". Атомам самим по себе свойственно непрестанное движение, разнообразие кото­рого определяется бесконечным разнообразием форм атомов. Движение атомов вечно и в конечном итоге является причиной всех изменений в мире.

Задача научного познания, согласно Демокриту, чтобы наблюдаемые явления свести к области "истинного сущего" и дать им объяснение ис­ходя из общих принципов атомистики. Это может быть достигнуто пос­редством совместной деятельности ощущений и разума. Гносеологическую позицию Демокрита Маркс сформулировал следующим образом: "Демокрит не только не удалялся от мира, а, наоборот, был эмпирическим естест­воиспытателем". Содержание исходных философских принципов и гносео­логические установки определили основные черты научного метода Де­мокрита:

а) В познании исходить от единичного;

б) Любые предмет и явление разложимы до простейших элементов (анализ) и объяснимы исходя из них (синтез);

в) Различать существование "по истине" и "согласно мнению";

г) Явления действительности - это отдельные фрагменты упорядо­ченного космоса, который возник и функционирует в результате дейс­твий чисто механической причинности.

Математика по праву должна считаться у Демокрита первым разде­лом собственно физики и следовать непосредственно за каноникой. В самом деле, атомы качественно однородны и их первичные свойства име­ют количественный характер. Однако было бы неправильно трактовать учение Демокрита как разновидность пифагореизма, поскольку Демокрит хотя и сохраняет идею господства в мире математической закономернос­ти, но выступает с критикой априорных математических построений пи­фагорейцев, считая, что число должно выступать не законодателем при­роды, а извлекаться из нее. Математическая закономерность выявляется Демокритом из явлений действительности, и в этом смысле он предвос­хищает идеи математического естествознания. Исходные начала матери­ального бытия выступают у Демокрита в значительной степени как мате­матические объекты, и в соответствии с этим математике отводится видное место в системе мировоззрения как науке о первичных свойствах вещей. Однако включение математики в основание мировоззренческой системы потребовало ее перестройки, приведения математики в соот­ветствие с исходными философскими положениями, с логикой, гносеоло­гией, методологией научного исследования. Созданная таким образом концепция математики, называемая концепцией математического атомиз­ма, оказалась существенно отличной от предыдущих.

У Демокрита все математические объекты (тела, плоскости, линии, точки) выступают в определенных материальных образах. Идеальные плоскости, линии, точки в его учении отсутствуют. Основной процеду­рой математического атомизма является разложение геометрических тел на тончайшие листики (плоскости), плоскостей - на тончайшие нитки (линии), линий - на мельчайшие зернышки (атомы). Каждый атом имеет малую, но ненулевую величину и далее неделим. Теперь длина линии оп­ределяется как сумма содержащихся в ней неделимых частиц. Аналогично решается вопрос о взаимосвязи линий на плоскости и плоскостей в те­ле. Число атомов в конечном объеме пространства не бесконечно, хотя и настолько велико, что недоступно чувствам. Итак, главным отличием учения Демокрита от рассмотренных ранее является отрицание им беско­нечной делимости. Таким образом он решает проблему правомерности те­оретических построений математики, не сводя их к чувственно воспри­нимаемым образам, как это делал Протагор. Так, на рассуждения Прота­гора о касании окружности и прямой Демокрит мог бы ответить, что чувства, являющиеся отправным критерием Протагора, показывают ему, что чем точнее чертеж, тем меньше участок касания; в действительнос­ти же этот участок настолько мал, что не поддается чувственному ана­лизу, а относится к области истинного познания.

Руководствуясь положениями математического атомизма, Демокрит проводит ряд конкретных математических исследований и достигает вы­дающихся результатов (например, теория математической перспективы и проекции). Кроме того, он сыграл, по свидетельству Архимеда, немало­важную роль в доказательстве Эвдоксом теорем об объеме конуса и пи­рамиды. Нельзя с уверенностью сказать, пользовался ли он при решении этой задачи методами анализа бесконечно малых. А.О.Маковельский пи­шет: "Демокрит вступил на путь, по которому дальше пошли Архимед и Кавальери. Однако, подойдя вплотную к понятию бесконечно малого, Де­мокрит не сделал последнего решительного шага. Он не допускает безг­раничного увеличения числа слагаемых, образующих в своей сумме дан­ный объем. Он принимает лишь чрезвычайно большое, не поддающееся ис­числению вследствие своей огромности число этих слагаемых".

Выдающимся достижением Демокрита в математике явилась также его идея о построении теоретической математики как системы. В зародыше­вой форме она представляет собой идею аксиоматического построения математики, которая затем была развита в методологическом плане Пла­тоном и получила логически развернутое положение у Аристотеля.